“Ne higgy el semmit, de csak azt
kérdezd, amit kérdezni érdemes.”
Előszó
Minden tudásunk feltételezésekből indul ki és a matematikán kívüli tudásunk nagyrészt ezekből is áll. A feltételezések közt nagy különbségek észlelhetőek. Vannak elfogadható, megbízható feltételezések (pl. a fizika általános törvényeiben megnyilvánulóak) és vannak nem megbízható és el nem fogadható feltételezések, amilyenekkel (pl. a napi sajtót böngészve) minduntalan találkozhatunk.
Alapvetően kétfajta okoskodással találkozunk: bizonyító okoskodással, ezzel biztosítjuk be matematikai tudásunkat és a plauzibilis okoskodással, ezzel támasztjuk alá sejtéseinket, ilyenek a fizikus induktív bizonyítékai, a történész írásos leletei, a közgazdász statisztikus eredményei. A bizonyító okoskodás átitatja a tudományokat, de önmagában nem képes újat mondani a bennünket körülvevő világról. Minden új ismeret megszerzése magában foglalja a plauzibilis okoskodást.
A matematika kitűnő alkalmat kínál a bizonyító okoskodás elsajátítására, de bizonyítás nincs előzetes találgatás nélkül. Ezért matematikát művelni csak az képes, aki a találgatás művészetét is elsajátítja. Hiszen a matematika nem pusztán bizonyító tudomány. Bár a legtöbb matematikai közlemény bizonyító jellegű, állításokat és bizonyításokat tartalmaz, ezen eredmények létrejötte hasonló minden egyéb tudás születéséhez: plauzibilis okoskodással, találgatással, megfigyelésekből, analógiák követéséből jön létre. Éppen ezért a plauzibilis okoskodás a bizonyítóhoz hasonló fontossággal bír.
Az induktív okoskodás a plauzibilis okoskodás egy különleges esete. Az indukció alapját mindig különböző észrevételek képezik, ezeket alátámasztó észrevételek erősítik meg, mindazonáltal induktív okoskodásunk még mindig hibásnak bizonyulhat.
A matematikai indukció ezt a hibalehetőséget küszöböli ki és bár alapját induktív, plauzibilis okoskodás képezi (ezzel jutunk el az állításaink megfogalmazásához), az indukciós bizonyítás már bizonyító okoskodás. A matematikai indukció a tapasztalatokból kiinduló tudományos módszer.