by
on
under Tevékenységek
∞ Permalink

Geometria feladatok – szögek mértékének kiszámítása segédszerkesztések segítségével

Posted on by




    A könyvben a következő feladatok megoldása található meg:

  1. Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság talppontjának az átfogóhoz tartozó súlyvonaltól mért távolsága nyolcada az átfogónak. Mekkorák a háromszög szögei?}
  2. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $BC$ alapjának $B$ csúcsából induló szögfelezője $D$-ben metszi a szemközti $AC$ szárat. Mekkorák a háromszög szögei, ha $BC=AD$?
  3. Ha az $ABC$ háromszög $AB$ és $AC$ oldalán úgy vesszük fel a $D$ és $E$ pontokat, hogy $DE=DB=EC$ teljesüljön, akkor $AD=AE=BC$ is teljesül. Mekkorák az $ABC$ háromszög szögei?
  4. Az $ABCD$ négyszögben $CD=12,$ $AB=6\sqrt{3},$ $BC=6,$ $m(\widehat{CDA})=90^{\circ}$ és $m(\widehat{ABC})=150^{\circ}.$
    Számítsd ki az $AD$ oldal hosszát!
  5. Az $ABCD$ négyszögben $CD=12,$ $AB=6\sqrt{3},$ $m(\widehat{BAD})=60^{\circ},$ $m(\widehat{CDA})=90^{\circ}$ és $m(\widehat{ABC})=150^{\circ}.$
    Számítsd ki az $AD$ oldal hosszát!
  6. Az $ABCD$ négyszögben $BC=3,$ $AB=\sqrt{3},$ $CD=2\sqrt{3},$ $m(\widehat{BAD})=60^{\circ}$ és $m(\widehat{ADC})=60^{\circ}.$
    Számítsd ki a négyszög többi szögének mértékét és az $AD$ oldal hosszát!
  7. (Nemzetközi Magyar Matematikaverseny, 2014) Az $ABCD$ konvex négyszögben $AB=1,$ $BC=2,$ $AD = \sqrt{2},$
    $m(\widehat{DAB})= 105^{\circ}$ és $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ.$
    Számítsd ki a $CD$ oldal hosszát!
  8. (V:266, M.L. 1/2000) Az $ABC$ háromszögben \linebreak $m(\widehat{ABC})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{BAC})=45^{\circ }.$ Az $AB$ és $BC$ oldalakon felvettük az $M$ és $N$ pontokat úgy, hogy $AM\cdot \sqrt{3} =BM$ és $BN \cdot \sqrt{2}=AC.$ Számítsd ki az $NMB$ szög mértékét!
  9. (V:212, M.L. 1/1999) Az $ABC$ háromszögben $AB=BC$ és $m(\widehat{BAC})=30^{\circ }.$ Felvettük a háromszög síkjában a $D$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{DAC})=15^{\circ },$ $m(\widehat{DCA})=45^{\circ }$ és $AC$-hez viszonyítva a $B$ és $D$ pontok ellentétes félsíkokban legyenek. Bizonyítsd be, hogy $m(\widehat{ABD})=90^{\circ }!$
  10. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $m(\widehat{BAC})=100^{\circ}.$ Felvettük az $AB$ szár $B$-n túli meghosszabbításán a $D$ pontot úgy, hogy $AD=BC$ legyen. Mekkorák a $BCD$ háromszög szögei?
  11. Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcsnál $40^{\circ}$-os, a $B$ csúcsnál $20^{\circ}$-os szög van. A $C$ csúcsból induló belső szögfelező meghosszabbításának $D$ az a pontja, amelyre $AD=AB.$ Mekkorák az $ABD$ háromszög szögei?
  12. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$, $m(\widehat{BAC})=100^{\circ}$ valamint $BD$ az $ABC$ szög belső szögfelezője. Igazold, hogy $AD + DB = BC!$
  13. (V:288, M.L. 3/2000) Az $ABC$ háromszög síkjában felvettük az $M$ és $N$ pontokat úgy, hogy az $ABM$ háromszög egyenlő oldalú legyen és teljesüljenek az $AC=CN$, $m(\widehat{CAN})=30^{\circ }$ egyenlőségek ($M$ és $N$ az $ABC$ háromszögön kívül helyezkednek el úgy, hogy az $MAB,$ $NAC$ és $ABC$ háromszögeknek nincs közös belső pontjuk). $K$-val az $MN$ szakasz felezőpontját jelöljük. Bizonyítsd be, hogy a $BKC$ háromszög derékszögű! Hány fokosak a szögei?
  14. (V:104, M.L. 3/1997) Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=100^{\circ } $ és $m(\widehat{ACB})=10^{\circ }.$ Az $AC$ és $BC$ oldalakon felvettük az $M$ és $N$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{CAM})=25^{\circ }$ és $m(\widehat{NBA})=40^{\circ }.$ Számítsd ki az $NMA$ szög mértékét!
  15. (V:18, M.L. 2/1996) Az $OAB$ háromszögben $m(\widehat{AOB})=60^{\circ }.$ Az $OA$ és $OB$ oldalakra, a háromszög külső tartományában megszerkesztjük az $OAC$ és $OBD,$ $A$-ban, illetve $B$-ben derékszögű háromszögeket, amelyeknek $O$-ban levő szögeik $60^{\circ }$-osak. $M$-mel a $CD$ szakasz felezőpontját jelöljük. Bizonyítsd be, hogy az $AMB$ háromszög egyenlő oldalú!
  16. Az $ABC$ háromszög síkjában $M$ és $N$ olyan pontok, amelyekre $m(\widehat{MAB})=m(\widehat{NAC})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{MBA})=m(\widehat{NCA})=30^{\circ}.$ Legyen továbbá $P$ az $MNP$ egyenlő oldalú háromszög harmadik csúcsa úgy, hogy $MN$-hez viszonyítva $P,B,$ illetve $C$ ugyanabban a félsíkban helyezkedjen el. Bizonyítsd be, hogy $m(\widehat{PBC})=m(\widehat{PCB})=20^{\circ}!$
  17. Az $ABC$ háromszögben $AA_1,$ $BB_1$ és $CC_1$
    belső szögfelezők ($A_1\in BC,$ $B_1\in CA$ és $C_1\in
    AB$). Igazold, hogy ha $m(\widehat{B_1A_1C_1})=90^{\circ},$ akkor
    $m(\widehat{BAC})=120^{\circ}!$
  18. Legyen $M$ a hegyesszögű $ABC$ háromszög $AD$ magasságának egy belső pontja és jelölje $A_{1} $ a háromszög köré írt kör $A$ végpontú átmérőjének másik végpontját. $A$-ból az $A_{1} M$ egyenesre emelt merőleges a $BC$ egyenest $A_{0} $-ban metszi. Az $M$-ből $AC$-re, illetve $AB$-re állított merőlegesek talppontjait jelölje rendre $B_{0} $ és $C_{0} $. Bizonyítsd be, hogy $A_{0} ,B_{0} $ és $C_{0} $ egy egyenesen vannak!
  19. (V. Wildt József matematika verseny, 1995) Az $ABC$ háromszögben rendre $D$-vel, $E$-vel és $F$-fel jelöljük a $BC$ oldalhoz írt körnek a $BC,$ az $AB$ és az $AC$ oldalakkal való érintési pontjait, valamint $I_{a} $-val a kör középpontját. A $DEF$ háromszögben a $D$ szög belső szögfelezője az $EF$ oldalt $M$-ben metszi. Igazold, hogy $PI_{a} $ belső szögfelezője a $BI_{a} C$ háromszögnek, ahol $P$-vel az $AM$ és $BC$ egyenesek metszéspontját jelöljük!
  20. (V. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny, 1996) Az $ABC$ háromszögben a $B$ és $C$ szögek belső szögfelezőinek talppontját $B’$-tel és $C’$-tel, a külső szögfelezők metszéspontját $I_{a} $-val, míg a háromszög köré írt kör középpontját $O$-val jelöljük. Bizonyítsd be, hogy $I_{a} O\bot B’C'!$
  21. (V:64, M.L. 8/1996) Az $ABC$ háromszög $BC$ és $BA$ oldalait meghosszabbítjuk az $AQ=CP=2AC$ szakaszokkal úgy, hogy $A\in (BQ)$ és $C\in (BP).$ Hasonló módon vesszük fel az $AB$ és $AC$ oldalak meghosszabbításán az $M,$ illetve $N$ pontot úgy, hogy $BM=CN=2BC.$ Az $MN$ és $PQ$ szakaszok $M$-hez, illetve $Q$-hoz közelebb eső harmadolópontját $R$-rel és $S$-sel jelölve igazold, hogy az $R$, $C$ és $S$ pontok egy egyenesen vannak!
  22. Az $ABCD$ négyszög oldalaira kifelé megszerkesztjük az egymással egyenesen hasonló $MAB$, $NBC$, $PCD$ és $QDA$ háromszögeket. Jelölje $G_{1} $ és $G_{2} $ az $NPQ,$ illetve $BCD$ háromszög súlypontját. Bizonyítsd be, hogy $G_{1} G_{2} \, \left\| \, \, AM\right. $!
  23. Az $ABCD$ négyzet belsejében felvettük az $M$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{ABM})=m(\widehat{BAM})=15^{\circ}.$ Bizonyítsd be, hogy
    az $MCD$ háromszög egyenlő oldalú!
  24. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $AB=BC,$ \linebreak $m(\widehat{ABC})=30^{\circ}.$ Felvettük továbbá a $D\in (BC)$ pontot úgy, hogy $AC=\sqrt{2} BD.$ Igazold, hogy $m(\widehat{DAC})=60^{\circ}!$
  25. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $AB=AC,$ $O$ egy pont a háromszög belsejében úgy, hogy
    $m(\widehat{OBC})=10^{\circ},$ $m(\widehat{OCB})=30^{\circ},$ $m(\widehat{OAC})=10^{\circ}.$ Számítsd ki a $BAC$ szög mértékét!
  26. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $AB=AC,$ $O$ egy pont a háromszög belsejében úgy, hogy
    $m(\widehat{OBA})=40^{\circ},$ $m(\widehat{BAO})=70^{\circ},$ $m(\widehat{BCO})=30^{\circ}.$ Számítsd ki a $BAC$ szög mértékét!
  27. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$ és $m(\widehat{BAC})=20^{\circ }.$ Az $AB$ száron felvettük az $E$ pontot úgy, hogy
    $AE=BC.$ Számítsd ki az $\widehat{ACE}$ mértékét!
  28. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben ($AB=AC$) a $BAC$
    szög mértéke $20^{\circ}.$ Felvettük az $M\in [AC]$ és
    $N\in [AB]$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{MBA})=20^{\circ}$ és
    $m(\widehat{NCA})=30^{\circ}.$ Számítsd ki az $NMB$ szög
    mértékét!
  29. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben ($AB=AC$) tekintjük az $M\in [AC]$ és
    $N\in [AB]$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{CBM})=60^{\circ}$ és
    $m(\widehat{BCN})=50^{\circ}.$ Számítsd ki a $BAC$ szög mértékét, ha az $NMB$
    szög mértéke $30^{\circ}!$
  30. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben ($AB=AC$) tekintjük az $M\in [AC]$ és
    $N\in [AB]$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{NBM})=20^{\circ}$ és
    $m(\widehat{NCB})=50^{\circ}.$ Számítsd ki a $BAC$ szög mértékét, ha az $NMB$
    szög mértéke $30^{\circ}!$
  31. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben ($AB=AC$) tekintjük az $M\in [AC]$ és
    $N\in [AB]$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{MCN})=30^{\circ}$ és
    $m(\widehat{MBC})=60^{\circ}.$ Számítsd ki a $BAC$ szög mértékét, ha az $NMB$
    szög mértéke $30^{\circ}!$
  32. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $AB=AC$ és $m(\widehat{BAC})=20^{\circ}.$ Tekintjük továbbá az $M\in (AC$ és
    $N\in [AB]$ pontokat úgy, hogy $C\in [AM]$ és
    $m(\widehat{NCA})=30^{\circ},$ illetve $m(\widehat{MBC})=30^{\circ}.$ Számítsd ki a $BMN$ szög mértékét!
  33. Az $ABCD$ trapézban $m(\widehat{ADC})=m(\widehat{DAC})=80^{\circ}$ és $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BCA})=20^{\circ}.$ Számítsd ki az $ABD$ szög mértékét!
  34. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszögben $AC=BC,$ \linebreak $m(\widehat{ACB})=100^{\circ}.$ Legyen továbbá $D\in (BC)$ és $E\in (AC)$ úgy, hogy $m(\widehat{DAB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{EBA})=20^{\circ}.$ Igazold, hogy az $\{F\}=AD\cap BE$ pontra teljesül a $m(\widehat{BCF})=80^{\circ}$ egyenlőség!
  35. Az $ABC$ háromszögben $AB = BC$ és $m(\widehat{ABC})=80^{\circ}.$ $O$ a háromszög olyan belső pontja, amelyre $m(\widehat{OAC})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{OCA})=30^{\circ}.$ Mekkora a $BOC$ szög mértéke?
  36. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $AC$ alapján levő szögek $50^{\circ}$-osak. $M$ a háromszög belsejében olyan pont, amelyre $m(\widehat{MCA})=10^{\circ}$ és $m(\widehat{MAC})=20^{\circ}.$ Mekkora az $MBC$ szög mértéke?
  37. Az $ABC$ háromszög belsejében létezik olyan $P$ pont, amelyre $m(\widehat{PAB})=10^{\circ},$
    $m(\widehat{PBA})=20^{\circ},$ $m(\widehat{PCA})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{PAC})=40^{\circ}.$
    Bizonyítsd be, hogy az $ABC$ háromszög egyenlő szárú!
  38. (Shanghai Math Competition, 1994) Az $ABC$ háromszögben
    $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ACB})=40^{\circ}.$ A háromszög belsejében felvettük a $P$ és
    $Q$ pontokat úgy, hogy $m(\widehat{PAB})=m(\widehat{QAC})=20^{\circ}$ és $m(\widehat{PCB})=m(\widehat{QCA})=10^{\circ}.$
    Igaz-e, hogy a $B, P, Q$ pontok egy egyenesre illeszkednek?
  39. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$ és $m(\widehat{BAC})=12^{\circ}.$ Felvettük az $M\in [AC]$ és $N\in AB$ pontokat úgy, hogy
    $m(\widehat{MBA})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{NCA})=18^{\circ}.$ Számítsd ki az $MNC$ szög mértékét!
  40. (IMO shortlist, 1992) Az $ABC$ háromszögben $D$-vel és $E$-vel jelöljük az $ABC,$ illetve $ACB$ szög belső szögfelezőjének a szembenfekvő oldallal való metszéspontját. Határozd meg a háromszög szögeit, ha $m(\widehat{BDE})=24^{\circ}$ és
    $m(\widehat{CED})=18^{\circ}!$
  41. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=45^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=105^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=15^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=75^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  42. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=20^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=120^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=10^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=100^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  43. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=110^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=20^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=100^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  44. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=20^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=130^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=10^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=100^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  45. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=50^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=100^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=20^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=80^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  46. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=40^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=60^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=80^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=70^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  47. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=50^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=100^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=10^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=10^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  48. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=70^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=80^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=20^{\circ}$ és $m(\widehat{OCA})=30^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  49. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=110^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=20^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=80^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  50. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=40^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=110^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=10^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=70^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  51. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=22,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=45^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=112,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OBC})=m(\widehat{OCB})=15^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAB,$ illetve $OAC$ szög mértékét!
  52. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=15^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=67,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=97,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=7,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=22,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  53. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=22,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=52,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=105^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=15^{\circ}$ és $m(\widehat{OCA})=30^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  54. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=37,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=112,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=15^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=7,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  55. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=67,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=82,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=67,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  56. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=52,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=97,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=82,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  57. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=37,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=67,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=75^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OCB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=67,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAB,$ illetve $OAC$ szög mértékét!
  58. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=22,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=45^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=112,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=15^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=82,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  59. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=22,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=127,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OCB})=15^{\circ}$ és $m(\widehat{OBC})=30^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAC,$ illetve $OAB$ szög mértékét!
  60. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=37,5^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=45^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=97,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=82,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  61. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=15^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=52,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=112,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=7,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=67,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  62. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=67,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=82,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=52,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  63. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=37,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=112,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=82,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  64. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=45^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=52,5^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=82,5^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=37,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OCA})=22,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OBA,$ illetve $OBC$ szög mértékét!
  65. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=30^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=45^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=105^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=22,5^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=67,5^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  66. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=42^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=108^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=30^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OBA})=6^{\circ}$ és $m(\widehat{OCA})=36^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAB,$ illetve $OAC$ szög mértékét!
  67. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=12^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=138^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OAB})=6^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=6^{\circ}.$ Számítsd ki az $OCA,$ illetve $OCB$ szög mértékét!
  68. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=18^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=30^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=132^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OBC})=6^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=6^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAB,$ illetve $OAC$ szög mértékét!
  69. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=12^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=54^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=114^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OCB})=12^{\circ}$ és $m(\widehat{OBA})=96^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAC,$ illetve $OAB$ szög mértékét!}
  70. Az $ABC$ háromszögben $m(\widehat{BAC})=18^{\circ},$ $m(\widehat{ACB})=66^{\circ}$ és $m(\widehat{CBA})=96^{\circ}.$ Felvettük az $ABC$ háromszög belsejében az $O$ pontot úgy, hogy $m(\widehat{OBC})=12^{\circ}$ és $m(\widehat{OCB})=18^{\circ}.$ Számítsd ki az $OAC,$ illetve $OAB$ szög mértékét!}