Kutatás jellegű feladatok a középiskolai matematika tanításában






artur_fuzetei1 Megjelent a 2015-ben tartott matematika táborok kísérleti tevékenységeiből készített szakmai kiadvány. A táborokban a hagyományos feladatmegoldás és egyéb tevékenységek mellett kutatás jellegű feladatokat is megfogalmaztunk. Ezeknek az volt a közös jellemzője, hogy a tulajdonságok nem voltak expliciten megfogalmazva, csak körvonalazva volt a téma és a kiindulópont valamilyen versenyfeladat volt (amit a szerző a 2015-ben Kolozsváron szervezett Grigore Moisil versenyre javasolt). Például páronként különböző teljes hatványok összegeként állítsuk elő a természetes számokat! Vizsgáljuk meg, hogy egy adott alakzatban (pl. téglalap) levő rácspontokra hogyan lehet parabolát (kört, vagy általában egy másodfokú görbét) illeszteni! Alkossunk valamilyen modellt a tanulási folyamatra vonatkozóan! Így több esetben a tulajdonságok pontos megfogalmazása is a résztvevők feladata volt. A kiadvány megrendelhető az andraszk@yahoo.com címen (ára 20 lej+postaköltség, terjedelme 64 A5-ös oldal).
A táborokat a kolozsvári Báthory István Elméleti Líceum és a szekszárdi Garay János Gimnázium matematika közösségének segítségével bonyolítottuk le. Köszönet a résztvevő kollégáknak.
A tevékenységek az Emberi Erőforrások Minisztériuma megbízásából az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet és az Emberi Erőforrás Támogatáskezelő által meghirdetett NTP-HTE-M-14-0007 kódszámú pályázati támogatásból valósultak meg, amelyet a Nyilas Misi Tehetségtámogató Egyesület bonyolított le (az egyik tábori beszámolót lásd a http://simplexportal.ro/bathory.ro/?p=5265 címen).

Ízelítőül felsoroltunk néhányat a végeredményként megfogalmazott és bizonyított tulajdonságok, feladatok közül:

Az $n\in \mathbb{N}^*$ természetes számot teljes hatványnak nevezzük, ha létezik $b\in \mathbb{N},$ $b\geq 2$ és $a\in \mathbb{N}^*$ úgy, hogy
$n=a^b.$

  1. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely nem állítható elő páronként különböző teljes hatványok összegeként\footnote{egytagú összeg is megengedett, tehát pl. a $4=4$ egy helyes előállítás}!
  2. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb egyféleképpen állítható elő páronként különböző teljes hatványok összegeként!
  3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb kétféleképpen állítható elő páronként különböző teljes hatványok összegeként!
  4. Igaz-e, hogy bármely $k\in \mathbb{N}^*$ esetén létezik olyan $M_k\in \mathbb{N},$ amelyre $M_k$ legfeljebb $(k-1)$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes hatványok összegeként, de minden $M_k$-nál nagyobb természetes szám legalább $k$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes hatványok összegeként? Hogyan függ $M_k$ a $k$-tól?
  5. Bármely $\alpha\in\mathbb{N}^*,$ esetén az $n\geq (2(2\alpha+1))^2$ számoknak létezik legalább $\alpha$ páronként különböző előállítása teljes hatványok összegeként.

Az $n\in \mathbb{N}^*$ természetes számot teljes négyzetnek nevezzük, ha létezik $a\in \mathbb{N}^*$ úgy, hogy $n=a^2.$

  1. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely nem állítható elő páronként különböző teljes négyzetek összegeként!
  2. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb egyféleképpen állítható elő páronként különböző teljes négyzetek összegeként!
  3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb kétféleképpen állítható elő páronként különböző teljes négyzetek összegeként!
  4. Igaz-e, hogy bármely $k\in \mathbb{N}^*$ esetén létezik olyan $N_k\in \mathbb{N},$ amelyre $N_k$ legfeljebb $(k-1)$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes négyzetek összegeként, de minden $N_k$-nál nagyobb természetes szám legalább $k$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes négyzetek összegeként? Hogyan függ $N_k$ a $k$-tól?

Az $n\in \mathbb{N}^*$ természetes számot teljes köbnek nevezzük, ha létezik $a\in \mathbb{N}^*$ úgy, hogy $n=a^3.$

  1. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely nem állítható elő páronként különböző teljes köbök összegeként!
  2. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb egyféleképpen állítható elő páronként különböző teljes köbök összegeként!
  3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes számot, amely legfeljebb kétféleképpen állítható elő páronként különböző teljes köbök összegeként!
  4. Igaz-e, hogy bármely $k\in \mathbb{N}$ esetén létezik olyan $P_k\in \mathbb{N},$ amelyre $N_k$ legfeljebb $(k-1)$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes köbök összegeként, de minden $P_k$-nál nagyobb természetes szám legalább $k$ különböző módon állítható elő páronként különböző teljes köbök összegeként? Hogyan függ $P_k$ a $k$-tól?

Prímszámokkal kapcsolatos hasonló jellegű tulajdonságok:

  1. Bármely $n\geq 7$ természetes szám vagy prímszám, vagy előállítható páronként különböző prímszámok összegeként!
  2. Bizonyítsd be, hogy bármely $n\geq 12$ természetes szám legalább kétféleképpen állítható elő páronként különböző prímszámok összegeként!

Egyéb tulajdonságok:

  1. Ha $m\geq 30$ és $k=\left [ \frac{1+\sqrt{1+24m}}{2}\right],$ akkor van olyan parabola, amelyre $k=3v \,\, (v\in\mathbb{N})$ esetén $4v,$ $k=3v+1 (v\in\mathbb{N})$ és $k=3v+2 (v\in\mathbb{N})$ esetén pedig $4v+2$ darab $\mathcal{M}$-beli pont illeszkedik.
  2. Jelöljük $\mathcal{M}-$mel az origó középponttú, $10$ egység sugarú körlap belsejében levő rácspontok halmazát. Az $M$ halmaz elemei közül legtöbb hány lehet egy másodfokú függvény grafikus képén?
  3. Az előbbi modellben módosítsd az alapvető feltételezéseket a következőkre:

    a tanulásra fordított $E$ energiamennyiség állandó;
    az új ismereteket minden régi ismerettel össze kell kötni és az összekötések energiaköltsége változik úgy, hogy függ a meglévő ismeretek mennyiségétől, kezdetben ez a költség viszonylag magas, majd utána csökken és egy alsó határhoz közelít;
    a meglévő ismeretek közti relációk frissítésének energiaköltsége állandó, minden régi ismeretet minden más régi ismerettel összekötünk.

  4. Mindkét esetben próbálj beazonosítani fejlődési szakaszokat és ezek jellemzőit!
    Adj empirikus becslést a jellemzőknek az összenergiától való függésére!