{"id":2563,"date":"2017-02-14T22:38:45","date_gmt":"2017-02-14T20:38:45","guid":{"rendered":"http:\/\/simplexportal.ro\/?p=2563"},"modified":"2017-02-14T23:36:09","modified_gmt":"2017-02-14T21:36:09","slug":"izelito-a-geometria-feladatok-szogek-mertekenek-kiszamitasa-segedszerkesztesek-segitsegevel-konyvbol","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/simplexportal.ro\/?p=2563","title":{"rendered":"\u00cdzel\u00edt\u0151 a Geometria feladatok &#8211; sz\u00f6gek m\u00e9rt\u00e9k\u00e9nek kisz\u00e1m\u00edt\u00e1sa seg\u00e9dszerkeszt\u00e9sek seg\u00edts\u00e9g\u00e9vel k\u00f6nyvb\u0151l"},"content":{"rendered":"<p><html><br \/>\n<body><br \/>\n<script type=\"text\/x-mathjax-config\">\n  MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\\\(','\\\\)']]}});\n<\/script><br \/>\n<script type=\"text\/javascript\" async\n  src=\"https:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML\">\n<\/script><\/p>\n<p>Ebben a bejegyz\u00e9sben a Geometria feladatok &#8211; sz\u00f6gek m\u00e9rt\u00e9k\u00e9nek kisz\u00e1m\u00edt\u00e1sa seg\u00e9dszerkeszt\u00e9sekkel k\u00f6nyv egyik feladat\u00e1t (1.23) \u00e9s annak megold\u00e1sait mutatjuk be (ahogyan a k\u00f6nyvben szerepelnek). A feladat a matematikai folkl\u00f3r r\u00e9sze, de tal\u00e1n nem minden megold\u00e1s az. Term\u00e9szetesen analitikus eszk\u00f6z\u00f6kkel, trigonometri\u00e1val a feladat gyorsan megoldhat\u00f3, de egy tov\u00e1bbi eredeti megold\u00e1s \u00edgy is ig\u00e9nyel egy kis elm\u00e9lked\u00e9st. \ud83d\ude42<\/p>\n<ol>\n<li>\n  \tAz $ABCD$ n\u00e9gyzet belsej\u00e9ben felvett\u00fck fel az $M$ pontot \u00fagy, hogy $m(\\widehat{CDM})=m(\\widehat{DCM})=15^{\\circ}.$ Bizony\u00edtsd be, hogy az $MAB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa!<\/p>\n<p>I. Megold\u00e1s. Szerkessz\u00fck meg az $CD$ oldalra, a n\u00e9gyzeten k\u00edv\u00fcl, a $CDN$ egyenl\u0151 oldal\u00fa h\u00e1romsz\u00f6get!<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/V9CcFYXR\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" > <\/iframe><\/p>\n<p> Mivel $NC=ND$ \u00e9s $CM=DM,$ az $MN$ egyenes a $CD$ oldalfelez\u0151 mer\u0151legese, teh\u00e1t $MN||BC.$ <\/p>\n<p> \tM\u00e1sr\u00e9szt  $m(\\widehat{NCM})=75^{\\circ}$ \u00e9s  $m(\\widehat{CNM})=30^{\\circ},$ teh\u00e1t  $m(\\widehat{CMN})=75^{\\circ}$ \u00e9s \u00edgy $NC=MN.$ Ugyanakkor $NC=DC=BC,$ teh\u00e1t $MN=BC.$ Ez alapj\u00e1n a $CBMN$ n\u00e9gysz\u00f6g paralelogramma (k\u00e9t szembenfekv\u0151 oldala p\u00e1rhuzamos \u00e9s kongruens), teh\u00e1t $MB=NC=DC=AB.$ Ugyanakkor $MB=MA,$ teh\u00e1t az $AMB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa.  <\/p>\n<p> II. Megold\u00e1s. Szerkessz\u00fck meg a n\u00e9gyzet belsej\u00e9ben a $CDN$ egyenl\u0151 oldal\u00fa h\u00e1romsz\u00f6get! Ekkor  $m(\\widehat{ADN})=30^{\\circ}$ \u00e9s $AD=DN,$ teh\u00e1t $m(\\widehat{DAN})=75^{\\circ}.$ Ez alapj\u00e1n $m(\\widehat{NAB})=15^{\\circ}.$ M\u00e1sr\u00e9szt $M$ \u00e9s $N$ a $CD$ felez\u0151 mer\u0151leges\u00e9n van, teh\u00e1t $MN||AD.$ Az $ANMD$ trap\u00e9zban az $AD$ alapon fekv\u0151 k\u00e9t sz\u00f6g kongruens, teh\u00e1t ez a trap\u00e9z egyenl\u0151 sz\u00e1r\u00fa. \u00edgy a trap\u00e9z \u00e1tl\u00f3i egyenl\u0151k, teh\u00e1t $AM=DN=DC.$<br \/>\n \t<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/X7Scn3yA\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n \tMivel $M$ a $DC$ felez\u0151mer\u0151leges\u00e9n van, \u00e9s ez egybeesik az $AB$ felez\u0151 mer\u0151leges\u00e9vel, k\u00f6vetkezik, hogy $AM=MB$ \u00e9s ez\u00e9rt az $MAB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa. <\/p>\n<p>  III. Megold\u00e1s. Szerkessz\u00fck meg a n\u00e9gyzeten bel\u00fcl az $ADN$ egyenl\u0151 oldal\u00fa h\u00e1romsz\u00f6get! \u00edgy  $m(\\widehat{NDC})=30^{\\circ}$ \u00e9s $ND=DC,$ teh\u00e1t  $m(\\widehat{NCD})=75^{\\circ},$  $m(\\widehat{NCB})=15^{\\circ}$ \u00e9s hasonl\u00f3an $m(\\widehat{NBC})=15^{\\circ}.$ Ez alapj\u00e1n az $MDC$ \u00e9s az $NCB$ h\u00e1romsz\u00f6gek egybev\u00e1g\u00f3ak, teh\u00e1t $MC=NC.$<br \/>\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/kuxUQapK\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n  \tUgyanakkor<br \/>\n  \t$m(\\widehat{MCA})=m(\\widehat{NCA})=30^{\\circ},$ teh\u00e1t az $AMC$ \u00e9s $ANC$ h\u00e1romsz\u00f6gek kongruensek, vagyis $AM=AN=AD=AB.$ M\u00e1sfel\u0151l  $MA=MB,$ teh\u00e1t az $AMB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa.<\/p>\n<p>  IV. Megold\u00e1s. Tekints\u00fck az $ABCD$ n\u00e9gyzet k\u00f6r\u00e9 \u00edrhat\u00f3 szab\u00e1lyos $12$ oldal\u00fa soksz\u00f6get (l\u00e1sd a mell\u00e9kelt \u00e1br\u00e1t)! Ebben a soksz\u00f6gben jel\u00f6lj\u00fck $M$-mel az $AN$ \u00e9s $DR$ \u00e1tl\u00f3k metsz\u00e9spontj\u00e1t. \u00edgy  $m(\\widehat{MAD})=30^{\\circ}$ \u00e9s  $m(\\widehat{MDA})=75^{\\circ},$ teh\u00e1t  $m(\\widehat{AMD})=75^{\\circ}.$<\/p>\n<p> \t <iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/RMUh2t56\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe>  <\/p>\n<p> \tEz alapj\u00e1n $AM=AD=AB$ \u00e9s mivel  $m(\\widehat{MAB})=60^{\\circ},$ az $AMB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa, teh\u00e1t $M$ rajta van az $AB$ oldalfelez\u0151 mer\u0151leges\u00e9n, ami a soksz\u00f6g szimmetriatengelye is. Ez alapj\u00e1n az $M$-en \u00e1thalad az $AN,$ illetve a $DR$ egyenesnek az $AB$ oldalfelez\u0151 mer\u0151leges\u00e9re vonatkoz\u00f3 szimmetrikusa is, vagyis a $BP$ \u00e9s $QC.$ K\u00f6vetkez\u00e9sk\u00e9ppen a soksz\u00f6gben az $AN,BP,DR,QC$ \u00e1tl\u00f3k az $M$ pontban futnak \u00f6ssze.<br \/>\n Mivel az el\u0151bb felsorolt n\u00e9gy egyenes k\u00f6z\u00fcl b\u00e1rmelyik kett\u0151 metsz\u00e9spontja egy\u00e9rtelm\u0171en meghat\u00e1rozza az \u00f6sszefut\u00e1si pontot, a feladatban le\u00edrt felt\u00e9telek alapj\u00e1n ugyanezt az $M$ pontot szerkesztj\u00fck meg \u00e9s erre $ABM$ egyenl\u0151 oldal\u00fa.  <\/p>\n<p> V. Megold\u00e1s. A szerkeszt\u00e9s egy\u00e9rtelm\u0171s\u00e9g\u00e9re val\u00f3 hivatkoz\u00e1s elker\u00fclhet\u0151, ha egy olyan $A_1B_1C_1D_1$ n\u00e9gyzetet szerkeszt\u00fcnk meg, amely kongruens az eredetivel \u00e9s ebben az $M_1$ pontot \u00fagy v\u00e1lasztjuk meg, hogy az $M_1A_1B_1$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa legyen. \u00edgy $AM_1=AD_1$ \u00e9s mivel $m(\\widehat{M_1A_1D_1})=30^{\\circ},$ k\u00f6vetkezik, hogy $m(\\widehat{M_1D_1A_1})=75^{\\circ},$ vagyis $m(\\widehat{M_1D_1C_1})=15^{\\circ}.$ Hasonl\u00f3 \u00e9rvek alapj\u00e1n $m(\\widehat{M_1C_1D_1})=15^{\\circ},$ teh\u00e1t az $MDC$ \u00e9s $M_1D_1C_1$ h\u00e1romsz\u00f6gek egybev\u00e1g\u00f3k ($DC=D_1C_1$ \u00e9s a rajta fekv\u0151 sz\u00f6gek kongruensek). Ez alapj\u00e1n $M_1D_1=MD$ \u00e9s mivel $AD=A_1D_1,$ valamint $m(\\widehat{M_1D_1A_1})=m(\\widehat{MAD})=75^{\\circ},$ az $MAD$ h\u00e1romsz\u00f6g egybev\u00e1g\u00f3 az $M_1A_1D_1$ h\u00e1romsz\u00f6ggel. \u00edgy $MA=M_1A_1=A_1D_1=AD=AB.$ Hasonl\u00f3 gondolatmenet alapj\u00e1n $MB=AB,$ teh\u00e1t az $MAB$ h\u00e1romsz\u00f6g egyenl\u0151 oldal\u00fa.<br \/>\n \t<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/sr7gH3sV\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><\/p>\n<p>VI. Megold\u00e1s. Kisz\u00e1m\u00edtjuk az $ABM$ h\u00e1romsz\u00f6g magass\u00e1g\u00e1t a n\u00e9gyzet $a$ oldalhossz\u00e1nak f\u00fcggv\u00e9ny\u00e9ben. A $DEM$ h\u00e1romsz\u00f6gb\u0151l $$\\tan 15^{\\circ}=\\frac {EM}{DE}=\\frac{2\\cdot EM}{a},$$<br \/>\n \t\u00e9s mivel $\\tan 15^{\\circ}=2-\\sqrt{3},$ \u00edrhatjuk, hogy $$EM=a-\\frac{a\\sqrt{3}}{2}.$$ Ez alapj\u00e1n $$MF=a-EM=\\frac{a\\sqrt{3}}{2}.$$ Ebb\u0151l k\u00f6vetkezik, hogy $$\\tan \\widehat{MBA}=\\tan \\widehat{MAB}=\\sqrt{3},$$ teh\u00e1t  $m(\\widehat{MBA})=m(\\widehat{MAB})=60^{\\circ},$ vagyis $MAB$ egyenl\u0151 oldal\u00fa.<br \/>\n \t<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/CbKGUuKz\/width\/1336\/height\/563\/border\/888888\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"650px\" height=\"280px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n Megjegyz\u00e9s.<br \/>\n \tA $15^{\\circ}$ (vagy a $75^{\\circ}$) szinusz\u00e1nak, koszinusz\u00e1nak vagy tangens\u00e9nek ismeret\u00e9ben, tov\u00e1bb\u00e1 a szinusz- vagy koszinusz-t\u00e9telt haszn\u00e1lva tov\u00e1bbi gondolatmenetek \u00e9p\u00edthet\u0151k fel az $AM$ kisz\u00e1m\u00edt\u00e1s\u00e1ra. <\/p>\n<p><\/body><br \/>\n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ebben a bejegyz\u00e9sben a Geometria feladatok &#8211; sz\u00f6gek m\u00e9rt\u00e9k\u00e9nek kisz\u00e1m\u00edt\u00e1sa seg\u00e9dszerkeszt\u00e9sekkel k\u00f6nyv egyik feladat\u00e1t (1.23) \u00e9s annak megold\u00e1sait mutatjuk be (ahogyan a k\u00f6nyvben szerepelnek). A feladat a matematikai folkl\u00f3r r\u00e9sze, de tal\u00e1n nem minden megold\u00e1s az. Term\u00e9szetesen analitikus eszk\u00f6z\u00f6kkel, trigonometri\u00e1val a feladat gyorsan megoldhat\u00f3, de egy tov\u00e1bbi eredeti megold\u00e1s \u00edgy is ig\u00e9nyel egy kis elm\u00e9lked\u00e9st. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2574,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2563","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2563","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2563"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2563\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2577,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2563\/revisions\/2577"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2574"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2563"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2563"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2563"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}