{"id":2172,"date":"2016-03-31T23:38:47","date_gmt":"2016-03-31T21:38:47","guid":{"rendered":"http:\/\/simplexportal.ro\/?p=2172"},"modified":"2016-04-01T08:24:53","modified_gmt":"2016-04-01T06:24:53","slug":"kutatas-jellegu-feladatok-a-kozepiskolai-matematika-tanitasaban","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/simplexportal.ro\/?p=2172","title":{"rendered":"Kutat\u00e1s jelleg\u0171 feladatok a k\u00f6z\u00e9piskolai matematika tan\u00edt\u00e1s\u00e1ban"},"content":{"rendered":"<p><html><br \/>\n<body><br \/>\n<script type=\"text\/x-mathjax-config\">\n  MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\\\(','\\\\)']]}});\n<\/script><br \/>\n<script type=\"text\/javascript\" async\n  src=\"https:\/\/cdn.mathjax.org\/mathjax\/latest\/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML\">\n<\/script><br \/>\n<a href=\"http:\/\/simplexportal.ro\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/artur_fuzetei1.jpg\"><img loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/simplexportal.ro\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/artur_fuzetei1-202x300.jpg\" alt=\"artur_fuzetei1\" width=\"160\" height=\"240\"  align=\"left\"\/><\/a> Megjelent a 2015-ben tartott matematika t\u00e1borok k\u00eds\u00e9rleti tev\u00e9kenys\u00e9geib\u0151l k\u00e9sz\u00edtett szakmai kiadv\u00e1ny. A t\u00e1borokban a hagyom\u00e1nyos feladatmegold\u00e1s \u00e9s egy\u00e9b tev\u00e9kenys\u00e9gek mellett kutat\u00e1s jelleg\u0171 feladatokat is megfogalmaztunk. Ezeknek az volt a k\u00f6z\u00f6s jellemz\u0151je, hogy a tulajdons\u00e1gok nem voltak expliciten megfogalmazva, csak k\u00f6rvonalazva volt a t\u00e9ma \u00e9s a kiindul\u00f3pont valamilyen versenyfeladat volt (amit a szerz\u0151 a 2015-ben Kolozsv\u00e1ron szervezett Grigore Moisil versenyre javasolt). P\u00e9ld\u00e1ul p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt \u00e1ll\u00edtsuk el\u0151 a term\u00e9szetes sz\u00e1mokat! Vizsg\u00e1ljuk meg, hogy egy adott alakzatban (pl. t\u00e9glalap) lev\u0151 r\u00e1cspontokra hogyan lehet parabol\u00e1t (k\u00f6rt, vagy \u00e1ltal\u00e1ban egy m\u00e1sodfok\u00fa g\u00f6rb\u00e9t) illeszteni! Alkossunk valamilyen modellt a tanul\u00e1si folyamatra vonatkoz\u00f3an! \u00cdgy t\u00f6bb esetben a tulajdons\u00e1gok pontos megfogalmaz\u00e1sa is a r\u00e9sztvev\u0151k feladata volt. A kiadv\u00e1ny megrendelhet\u0151 az andraszk@yahoo.com c\u00edmen (\u00e1ra 20 lej+postak\u00f6lts\u00e9g, terjedelme 64 A5-\u00f6s oldal).<br \/>\nA t\u00e1borokat a kolozsv\u00e1ri B\u00e1thory Istv\u00e1n Elm\u00e9leti L\u00edceum \u00e9s a szeksz\u00e1rdi Garay J\u00e1nos Gimn\u00e1zium matematika k\u00f6z\u00f6ss\u00e9g\u00e9nek seg\u00edts\u00e9g\u00e9vel bonyol\u00edtottuk le. K\u00f6sz\u00f6net a r\u00e9sztvev\u0151 koll\u00e9g\u00e1knak.<br \/>\nA tev\u00e9kenys\u00e9gek az Emberi Er\u0151forr\u00e1sok Miniszt\u00e9riuma megb\u00edz\u00e1s\u00e1b\u00f3l az Oktat\u00e1skutat\u00f3 \u00e9s Fejleszt\u0151 Int\u00e9zet \u00e9s az Emberi Er\u0151forr\u00e1s T\u00e1mogat\u00e1skezel\u0151 \u00e1ltal meghirdetett NTP-HTE-M-14-0007 k\u00f3dsz\u00e1m\u00fa p\u00e1ly\u00e1zati t\u00e1mogat\u00e1sb\u00f3l val\u00f3sultak meg, amelyet a Nyilas Misi Tehets\u00e9gt\u00e1mogat\u00f3 Egyes\u00fclet bonyol\u00edtott le (az egyik t\u00e1bori besz\u00e1mol\u00f3t l\u00e1sd a <a href=\"http:\/\/simplexportal.ro\/bathory.ro\/?p=5265\" title=\"http:\/\/simplexportal.ro\/bathory.ro\/?p=5265\">http:\/\/simplexportal.ro\/bathory.ro\/?p=5265<\/a> c\u00edmen). <\/p>\n<p>\u00cdzel\u00edt\u0151\u00fcl felsoroltunk n\u00e9h\u00e1nyat a v\u00e9geredm\u00e9nyk\u00e9nt megfogalmazott \u00e9s bizony\u00edtott tulajdons\u00e1gok, feladatok k\u00f6z\u00fcl: <\/p>\n<p> Az $n\\in \\mathbb{N}^*$ term\u00e9szetes sz\u00e1mot teljes hatv\u00e1nynak nevezz\u00fck, ha l\u00e9tezik $b\\in \\mathbb{N},$ $b\\geq 2$ \u00e9s $a\\in \\mathbb{N}^*$ \u00fagy, hogy<br \/>\n$n=a^b.$<\/p>\n<ol>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely nem \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt\\footnote{egytag\u00fa \u00f6sszeg is megengedett, teh\u00e1t pl. a $4=4$ egy helyes el\u0151\u00e1ll\u00edt\u00e1s}!<\/li>\n<li> Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb egyf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb k\u00e9tf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt!\n<\/li>\n<li>Igaz-e, hogy b\u00e1rmely $k\\in \\mathbb{N}^*$ eset\u00e9n l\u00e9tezik olyan $M_k\\in \\mathbb{N},$ amelyre $M_k$ legfeljebb $(k-1)$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt, de minden $M_k$-n\u00e1l nagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1m legal\u00e1bb $k$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt? Hogyan f\u00fcgg $M_k$ a $k$-t\u00f3l?<\/li>\n<li>B\u00e1rmely $\\alpha\\in\\mathbb{N}^*,$ eset\u00e9n az $n\\geq (2(2\\alpha+1))^2$ sz\u00e1moknak l\u00e9tezik legal\u00e1bb $\\alpha$ p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 el\u0151\u00e1ll\u00edt\u00e1sa teljes hatv\u00e1nyok \u00f6sszegek\u00e9nt.<\/li>\n<\/ol>\n<p> Az $n\\in \\mathbb{N}^*$ term\u00e9szetes sz\u00e1mot teljes n\u00e9gyzetnek nevezz\u00fck, ha l\u00e9tezik $a\\in \\mathbb{N}^*$ \u00fagy, hogy $n=a^2.$<\/p>\n<ol>\n<li>\nHat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely nem \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes n\u00e9gyzetek \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb egyf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes n\u00e9gyzetek \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb k\u00e9tf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes n\u00e9gyzetek \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Igaz-e, hogy b\u00e1rmely $k\\in \\mathbb{N}^*$ eset\u00e9n l\u00e9tezik olyan $N_k\\in \\mathbb{N},$ amelyre $N_k$ legfeljebb $(k-1)$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes n\u00e9gyzetek \u00f6sszegek\u00e9nt, de minden $N_k$-n\u00e1l nagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1m legal\u00e1bb $k$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes n\u00e9gyzetek \u00f6sszegek\u00e9nt? Hogyan f\u00fcgg $N_k$ a $k$-t\u00f3l?<\/li>\n<\/ol>\n<p> Az $n\\in \\mathbb{N}^*$ term\u00e9szetes sz\u00e1mot teljes k\u00f6bnek nevezz\u00fck, ha l\u00e9tezik $a\\in \\mathbb{N}^*$ \u00fagy, hogy $n=a^3.$<\/p>\n<ol>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely nem \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes k\u00f6b\u00f6k \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb egyf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes k\u00f6b\u00f6k \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Hat\u00e1rozd meg azt a legnagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1mot, amely legfeljebb k\u00e9tf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes k\u00f6b\u00f6k \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li>Igaz-e, hogy b\u00e1rmely $k\\in \\mathbb{N}$ eset\u00e9n l\u00e9tezik olyan  $P_k\\in \\mathbb{N},$ amelyre $N_k$ legfeljebb $(k-1)$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes k\u00f6b\u00f6k \u00f6sszegek\u00e9nt, de minden $P_k$-n\u00e1l nagyobb term\u00e9szetes sz\u00e1m legal\u00e1bb $k$ k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 m\u00f3don \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 teljes k\u00f6b\u00f6k \u00f6sszegek\u00e9nt? Hogyan f\u00fcgg $P_k$ a $k$-t\u00f3l?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Pr\u00edmsz\u00e1mokkal kapcsolatos hasonl\u00f3 jelleg\u0171 tulajdons\u00e1gok:<\/p>\n<ol>\n<li> B\u00e1rmely $n\\geq 7$ term\u00e9szetes sz\u00e1m vagy pr\u00edmsz\u00e1m, vagy el\u0151\u00e1ll\u00edthat\u00f3 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 pr\u00edmsz\u00e1mok \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<li> Bizony\u00edtsd be, hogy b\u00e1rmely $n\\geq 12$ term\u00e9szetes sz\u00e1m legal\u00e1bb k\u00e9tf\u00e9lek\u00e9ppen \u00e1ll\u00edthat\u00f3 el\u0151 p\u00e1ronk\u00e9nt k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 pr\u00edmsz\u00e1mok \u00f6sszegek\u00e9nt!<\/li>\n<\/ol>\n<p>Egy\u00e9b tulajdons\u00e1gok:<\/p>\n<ol>\n<li> Ha $m\\geq 30$ \u00e9s $k=\\left [ \\frac{1+\\sqrt{1+24m}}{2}\\right],$ akkor van olyan parabola, amelyre $k=3v \\,\\, (v\\in\\mathbb{N})$ eset\u00e9n $4v,$ $k=3v+1 (v\\in\\mathbb{N})$ \u00e9s $k=3v+2 (v\\in\\mathbb{N})$ eset\u00e9n pedig $4v+2$ darab $\\mathcal{M}$-beli pont illeszkedik.<\/li>\n<li>Jel\u00f6lj\u00fck $\\mathcal{M}-$mel az orig\u00f3 k\u00f6z\u00e9ppontt\u00fa, $10$ egys\u00e9g sugar\u00fa k\u00f6rlap belsej\u00e9ben lev\u0151 r\u00e1cspontok halmaz\u00e1t. Az $M$ halmaz elemei k\u00f6z\u00fcl legt\u00f6bb h\u00e1ny lehet egy m\u00e1sodfok\u00fa f\u00fcggv\u00e9ny grafikus k\u00e9p\u00e9n?<\/li>\n<li>Az el\u0151bbi modellben m\u00f3dos\u00edtsd az alapvet\u0151 felt\u00e9telez\u00e9seket a k\u00f6vetkez\u0151kre:\n<p> a tanul\u00e1sra ford\u00edtott $E$ energiamennyis\u00e9g \u00e1lland\u00f3;<br \/>\n az \u00faj ismereteket minden r\u00e9gi ismerettel \u00f6ssze kell k\u00f6tni \u00e9s az \u00f6sszek\u00f6t\u00e9sek energiak\u00f6lts\u00e9ge v\u00e1ltozik \u00fagy, hogy f\u00fcgg a megl\u00e9v\u0151 ismeretek mennyis\u00e9g\u00e9t\u0151l, kezdetben ez a k\u00f6lts\u00e9g viszonylag magas, majd ut\u00e1na cs\u00f6kken \u00e9s egy als\u00f3 hat\u00e1rhoz k\u00f6zel\u00edt;<br \/>\n a megl\u00e9v\u0151 ismeretek k\u00f6zti rel\u00e1ci\u00f3k friss\u00edt\u00e9s\u00e9nek energiak\u00f6lts\u00e9ge \u00e1lland\u00f3, minden r\u00e9gi ismeretet minden m\u00e1s r\u00e9gi ismerettel \u00f6sszek\u00f6t\u00fcnk.<\/li>\n<li>Mindk\u00e9t esetben pr\u00f3b\u00e1lj beazonos\u00edtani fejl\u0151d\u00e9si szakaszokat \u00e9s ezek jellemz\u0151it!<br \/>\nAdj empirikus becsl\u00e9st a jellemz\u0151knek az \u00f6sszenergi\u00e1t\u00f3l val\u00f3 f\u00fcgg\u00e9s\u00e9re!<\/li>\n<\/ol>\n<p><\/body><\/p>\n<p><\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Megjelent a 2015-ben tartott matematika t\u00e1borok k\u00eds\u00e9rleti tev\u00e9kenys\u00e9geib\u0151l k\u00e9sz\u00edtett szakmai kiadv\u00e1ny. A t\u00e1borokban a hagyom\u00e1nyos feladatmegold\u00e1s \u00e9s egy\u00e9b tev\u00e9kenys\u00e9gek mellett kutat\u00e1s jelleg\u0171 feladatokat is megfogalmaztunk. Ezeknek az volt a k\u00f6z\u00f6s jellemz\u0151je, hogy a tulajdons\u00e1gok nem voltak expliciten megfogalmazva, csak k\u00f6rvonalazva volt a t\u00e9ma \u00e9s a kiindul\u00f3pont valamilyen versenyfeladat volt (amit a szerz\u0151 a 2015-ben Kolozsv\u00e1ron [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2211,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[14,4,19],"tags":[],"class_list":["post-2172","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-feladatgyujtemenyek","category-tananyagok","category-tevekenysegek"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2172","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2172"}],"version-history":[{"count":27,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2172\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2227,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2172\/revisions\/2227"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2211"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2172"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2172"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/simplexportal.ro\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2172"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}